本問は、固有値の性質を利用し、\(A^{n}\)の乗数を落としていき、結果を求める問題です。色々な大学でたまに出題されます。(電通大2023など)まず自力で解けるか確認し、分からなかった場合は復習に役立てて下さると幸いです。

行列表記に落とし込めれば、後は繰り返し適用することで一般項を求められることが分かります。漸化式を1変数分\(x_{n}=Ax_{n-1}\)のように与えられていると、繰り返し適用することは想像つくと思います。本問は2変数ですが、同じ考え方で解いていくことになります。

基底を求めるには、与えられた行列を行基本変形すると良いです。この解法は、巷でも良く解説されています。本問も、最終的に上記のアプローチに落ち着くことを考えます。しかし、行列がまだ作成できていません。\(W_{1} \cap W_{2}\)の使い方がカギになりそうです。結論から言うと、\(W_{1}、W_{2}\)を満たすそれぞれの空間を連立し、これを行列にすれば良いです。

本問では、固有値が1つ(重解)で、固有ベクトルが1つしか作れません。このままでは対角化できないですが、ジョルダン標準形を用いると解決します。厳密には対角行列ではありませんが、行列\(A\)を\(A^{n}\)まで求められる形に何とか変形することができます。

本問、意外と出題されたりします。現代制御での出題が最も多いですが、線形代数でも何かしらの初期値を与えて、そこからの時間変化をグラフに描く問題が出題されることがあります。行列\(A\)を対角化する作業とあまり変わりません。行列Dの部分が、exp項に変わったところに注意すれば、最終的に答えに行き着くのではないでしょうか。