数学

ストークスの定理とはあるベクトル場の回転の面積分は、面積分した領域の境界線を線積分した値に等しいことを言います。本問も線積分の式で表されていますが、ストークスの定理を用いることで面積分に帰着できます。問で与えられた領域に対し面積分すれば解けます。

問題下記のように、\(x=a,y=b,z=c\)の3次元の矩形型の箱を考える。\(z=c\)の境界面でのポテンシャルを\(f(x,y)\)、\(z=c\)を除くすべての境界面において、ポテンシャル\(u(x,y,z)=0\)のとき、箱内部の...

今までの記事でちょくちょく出てきましたが、偏微分方程式はフーリエ級数、変換、ラプラス変換を利用すると手計算で求められる場合があります。院試でも、京大(情報学研究科)の先端情報専攻で出題されることがあります。本記事では、フーリエ級数を用いて熱伝導方程式を解いてみます。

べき級数を用いた微分方程式の解き方与えられた微分方程式の通常点を求める。仮定した解を微分方程式に代入し、未定定数\(c_{n}\)の関係式を求める。最終的に求まった\(c_{n}\)を2.で仮定した式に代入することで、解が求まる。

行列のn乗を求めるには、固有値を用いて対角化を行うことが多いです。この方法については、イレギュラーケースも含めてこちら1、こちら2の記事で説明しています。本問も上記の考え方で解くこともできます。しかし、nをある値にして計算(実験)し、規則性を見つけることで答えを出すことも可能です。また、そのほうが時間がかからないケースもあり、本問がそれに該当します。

問題以下の2変数関数の極値を求めよ。ただし(\(0\le x \le2\pi,0 \le y \le 2\pi \))とする。\begin{eqnarray}f(x,y)=\sin x+\sin y+\sin \left( x+y\righ...

本問は、固有値の性質を利用し、\(A^{n}\)の乗数を落としていき、結果を求める問題です。色々な大学でたまに出題されます。(電通大2023など)まず自力で解けるか確認し、分からなかった場合は復習に役立てて下さると幸いです。

行列表記に落とし込めれば、後は繰り返し適用することで一般項を求められることが分かります。漸化式を1変数分\(x_{n}=Ax_{n-1}\)のように与えられていると、繰り返し適用することは想像つくと思います。本問は2変数ですが、同じ考え方で解いていくことになります。

基底を求めるには、与えられた行列を行基本変形すると良いです。この解法は、巷でも良く解説されています。本問も、最終的に上記のアプローチに落ち着くことを考えます。しかし、行列がまだ作成できていません。\(W_{1} \cap W_{2}\)の使い方がカギになりそうです。結論から言うと、\(W_{1}、W_{2}\)を満たすそれぞれの空間を連立し、これを行列にすれば良いです。

本問では、固有値が1つ(重解)で、固有ベクトルが1つしか作れません。このままでは対角化できないですが、ジョルダン標準形を用いると解決します。厳密には対角行列ではありませんが、行列\(A\)を\(A^{n}\)まで求められる形に何とか変形することができます。